Правильный многогранник або платонове тіло — це опуклий многогранник, який складається із однакових правильних многокутників, і такий, що має просторову симетрію.
У трьохмірному евклідовому просторі існує всього п'ять правильних многогранників:
Значною мірою правильні багатмногогранники були вивчені древніми греками. Деякі джерела (такі як Прокл Діадох) приписують честь їх відкриття Піфагору. Інші стверджують, що йому були знайомі тільки тетраедр, куб і додекаедр, а честь відкриття октаедра і ікосаедра належить Теетет Афінському, сучаснику Платона. У кожному разі, Теетет дав математичний опис всіх п'яти правильних многогранників і перше відоме доведення того, що їх рівно п'ять.
Правильні многогранники характерні для філософії Платона, на честь якого і отримали назву «Платонові тіла». Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. е.), Де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх ледве можна відчути; вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр); в противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив неясне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту й удався до нього в якості зразка». Аристотель додав п'ятий елемент - ефір і постулював, що небеса зроблені з цього елемента, але він не зіставляв його платоновському п'ятому елементу.
Евклід дав повне математичний опис правильних многогранників в останній, XIII книзі Начал. Пропозиції 13-17 цієї книги описують структуру тетраедра, октаедра, куба, ікосаедра і додекаедра в даному порядку. Для кожного многогранника Евклід знайшов відношення діаметра описаної сфери до довжини ребра. У 18-му реченні стверджується, що не існує інших правильних многогранників. Андреас Шпейзер відстоював точку зору, що побудова п'ятьох правильних многогранників є головною метою дедуктивної системи геометрії в тому вигляді, як та була створена греками і канонізована в «Началах» Евкліда. Велика кількість інформації XIII книги «Начал», можливо, взято з праць Теетет.
У XVI столітті німецький астроном Іоганн Кеплер намагався знайти зв'язок між п'ятьма відомими на той момент планетами Сонячної системи (виключаючи Землю) і правильними многогранниками. У книзі «Таємниця світу», опублікованій в 1596 році, Кеплер виклав свою модель Сонячної системи. У ній п'ять правильних многогранників містилися один в одному і поділялися серією вписаних і описаних сфер. Кожна з шести сфер відповідала одній з планет (Меркурій, Венера, Земля, Марс, Юпітер і Сатурн). Многогранники були розташовані в наступному порядку (від внутрішнього до зовнішнього): октаедр, за ним ікосаедр, додекаедр, тетраедр і, нарешті, куб. Таким чином, структура Сонячної системи і відшення відстаней між планетами визначалися правильними многогранниками. Пізніше від оригінальної ідеї Кеплера довелося відмовитися, але результатом його пошуків стало відкриття двох законів орбітальної динаміки - законів Кеплера, - які змінили курс фізики і астрономії, а також правильних зірчастих многогранників (тіл Кеплера - Пуансо).
Ейлером була виведена формула, що зв'язує число вершин (В), граней (Г) і ребер (Р) будь-якого опуклого многогранника простим співвідношенням:
Відношення кількості вершин правильного многогранника до кількості ребер однієї його грані дорівнює відношенню кількості граней цього ж многогранника до кількості ребер, що виходять з однієї його вершини. У тетраедра це відношення дорівнює 4: 3, у гексаедр і октаедра - 2: 1, а у додекаедра і ікосаедра - 4: 1.
Правильний многогранник може бути комбінаторно описаний символом Шлефлі {p, q}, де:
p - число ребер в кожній грані;
q - число ребер, що сходяться в кожній вершині.
Символи Шлефлі для правильних многогранників наведені в наступній таблиці:
Многогранник називається правильним, якщо:
- Він опуклий.
- Усі його грані є рівними правильними многокутниками.
- У кожній його вершині сходиться однакова кількість ребер.
| Зображення | Правильний многогранник | Число сторін у грані | Число ребер, що сходяться в одній вершині | Число вершин | Число ркбер | Число граней | Стихія |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 | Тетраедр | 3 | 3 | 4 | 6 | 4 | вогонь |
 | Октаедр | 3 | 4 | 6 | 12 | 8 | повітря |
 | Ікосаедр | 3 | 5 | 12 | 30 | 20 | водв |
 |
або куб
| 4 | 3 | 8 | 12 | 6 | земля |
 | Додекаедр | 5 | 3 | 20 | 30 | 12 | ефір |
Назва кожного многогранника походить від грецької назви кількості його граней і слова «грань».
Історія
Правильні многогранники відомі з прадавніх часів. Їх орнаментні моделі можна знайти на різьблених кам'яних кулях, створених в період пізнього неоліту, в Шотландії, як мінімум за 1000 років до Платона. У кістках, якими люди грали на зорі цивілізації, вже вгадуються форми правильних многогранників.Значною мірою правильні багатмногогранники були вивчені древніми греками. Деякі джерела (такі як Прокл Діадох) приписують честь їх відкриття Піфагору. Інші стверджують, що йому були знайомі тільки тетраедр, куб і додекаедр, а честь відкриття октаедра і ікосаедра належить Теетет Афінському, сучаснику Платона. У кожному разі, Теетет дав математичний опис всіх п'яти правильних многогранників і перше відоме доведення того, що їх рівно п'ять.
Правильні многогранники характерні для філософії Платона, на честь якого і отримали назву «Платонові тіла». Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. е.), Де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх ледве можна відчути; вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр); в противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив неясне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту й удався до нього в якості зразка». Аристотель додав п'ятий елемент - ефір і постулював, що небеса зроблені з цього елемента, але він не зіставляв його платоновському п'ятому елементу.
Евклід дав повне математичний опис правильних многогранників в останній, XIII книзі Начал. Пропозиції 13-17 цієї книги описують структуру тетраедра, октаедра, куба, ікосаедра і додекаедра в даному порядку. Для кожного многогранника Евклід знайшов відношення діаметра описаної сфери до довжини ребра. У 18-му реченні стверджується, що не існує інших правильних многогранників. Андреас Шпейзер відстоював точку зору, що побудова п'ятьох правильних многогранників є головною метою дедуктивної системи геометрії в тому вигляді, як та була створена греками і канонізована в «Началах» Евкліда. Велика кількість інформації XIII книги «Начал», можливо, взято з праць Теетет.
У XVI столітті німецький астроном Іоганн Кеплер намагався знайти зв'язок між п'ятьма відомими на той момент планетами Сонячної системи (виключаючи Землю) і правильними многогранниками. У книзі «Таємниця світу», опублікованій в 1596 році, Кеплер виклав свою модель Сонячної системи. У ній п'ять правильних многогранників містилися один в одному і поділялися серією вписаних і описаних сфер. Кожна з шести сфер відповідала одній з планет (Меркурій, Венера, Земля, Марс, Юпітер і Сатурн). Многогранники були розташовані в наступному порядку (від внутрішнього до зовнішнього): октаедр, за ним ікосаедр, додекаедр, тетраедр і, нарешті, куб. Таким чином, структура Сонячної системи і відшення відстаней між планетами визначалися правильними многогранниками. Пізніше від оригінальної ідеї Кеплера довелося відмовитися, але результатом його пошуків стало відкриття двох законів орбітальної динаміки - законів Кеплера, - які змінили курс фізики і астрономії, а також правильних зірчастих многогранників (тіл Кеплера - Пуансо).
Комбінаторні властивості
В + Г = Р + 2.
Відношення кількості вершин правильного многогранника до кількості ребер однієї його грані дорівнює відношенню кількості граней цього ж многогранника до кількості ребер, що виходять з однієї його вершини. У тетраедра це відношення дорівнює 4: 3, у гексаедр і октаедра - 2: 1, а у додекаедра і ікосаедра - 4: 1.
Правильний многогранник може бути комбінаторно описаний символом Шлефлі {p, q}, де:
p - число ребер в кожній грані;
q - число ребер, що сходяться в кожній вершині.
Символи Шлефлі для правильних многогранників наведені в наступній таблиці:
Іншою комбінаторною характеристикою многогранника, яку можна виразити через числа p і q, є загальна кількість вершин (В), ребер (Р) і граней (Г). Оскільки будь-яке ребро з'єднує дві вершини і лежить між двома гранями, виконуються співвідношення:Многогранник Вершини Ребра Грані Символ Шлефлі тетраедр 
4 6 4 {3, 3} куб 
8 12 6 {4, 3} октаедр 
6 12 8 {3, 4} ікосаедр 
12 30 20 {3, 5} додекаедр 
20 30 12 {5, 3}
Немає коментарів:
Дописати коментар