Казка про числа, що ходили в гості

28 вересня число 28 вирішило запросити до себе в гості усіх своїх дільників, менших, ніж воно саме. Першою прибігла одиниця, за нею двійка, за нею… інші дільники. Перелічіть список гостей числа 28.

Коли всі гості зібралися, число 28 побачило, що їх небагато. Воно засмутилося і запропонувало, щоб кожен із гостей привів ще і свої дільники. Скільки прийде нових гостей?

Одиниця пояснила числу 28, що за такої умови нові гості до нього не прийдуть: адже якщо b – дільник числа а, а число с – дільник числа b, то с буде дільником числа а. Перевірте це для числа
а = 30: знайдіть його дільники, і для кожного з них – його дільники.

Щоб утішити число 28, його гості запропонували з’єднатися знаком «+». Ану спробуйте… І, оце так диво, сума виявилася такою, що дорівнює самому числу 28! Одиниця сказала, що будь-яке число, яке дорівнює сумі своїх менших дільників, називається досконалим. Тож 28 – досконале число. Одиниця додала, що таких чисел дуже мало: серед чисел до мільйона є тільки чотири таких числа. Число 28 – єдине із двоцифрових досконалих число, із трицифрових теж є тільки одне досконале число (496), одне таке число серед одноцифрових (6). Які це числа?

До Евкліда були відомі тільки ці два досконалих числа, і ніхто не знав, чи існують інші досконалі числа і скільки таких чисел взагалі може бути.

Наступні два, а саме 496 і 8 128

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248,

8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064,…

знайшов в IV столітті до н. е. Евклід і тільки через півтори тисячі років у 1460 р. було знайдене ще одне досконале число — 33 550 336.

До середини XX століття було знайдено ще 7 таких чисел.

Ось перші вісім досконалих чисел: 6; 28; 496; 8 128; 33 550 336; 8 589 869 056; 137 438 691 328; 2 305 843 008 139 952 128.

З 1952 року в пошуки включилися комп’ютери і якщо перше досконале число (6) одноцифрове, то 24-те має понад 12 000 знаків. В 1978 р. ЕОМ за 40 хв. роботи відшукала 24-те:, 219136 (219137 - 1). Запис останнього зайняв би паперову смужку завдовжки понад 228 м.

Настало 29 вересня, і число 29 також вирішило запросити в цей день до себе в гості своїх менших дільників. Першою, як завжди, прийшла одиниця. Хто ще прийшов у гост? Що можна сказати про число 29? Яке воно?

Числам сподобалося запрошувати в гості своїх дільників. І в жовтні вони продовжили той самий звичай. Тільки одне число не дочекалося гостей. Що це за число? Скільки разів воно саме побувало в гостях у жовтні?

У яких чисел був тільки один гість? Що це за гість?

Знайдено на теренах Інтернету.